Перейти к содержимому
Форумы SkyCentre Прыжки с парашютом
Юра Бейс

Уравнения вингсьюта

Recommended Posts

Это перевод с английского вывода уравнений вингсьюта из Вингсьют-Студии - может быть интересным для пилотов, интересующихся технической стороной динамики полета. Так как многие по-английски ни бум-бум, я и подумал, что неплохо бы и перевести для народа. А заодно и заготовка будет для русифицированной версии Студии - так что замечания по корявости и очепяткам благодарственно приветствуются. :) Может быть также полезно для нераскрывшихся еще вингокулибиных и винголомоносовых, для стимуляции скрючившихся за зиму в тугую спираль серых хромосом. :rolleyes:

Что такое уравнения вингсьюта?

post-22124-1368397513_thumb.png

Уравнения вингсьюта — это дифференциальные уравнения движения, описывающие полет винсьюта в вертикальной плоскости. Простые и красивые, они позволяют с высокой точностью моделировать полет вингсьюта, зная только установившуюся скорость.

Когда мы думаем о моделировании полета вингсьюта, задача кажется неразрешимой. Чтобы вычислить траекторию, нужно точно знать силы, действующие на тело в любой момент времени, для вычисления ускорения. Зная начальную скорость, можно затем численно проинтегрировать ускорение, чтобы получить скорость в любой момент, и далее проинтегрировать скорость, чтобы получить полную траекторию. Но каким образом мы можем знать силы?

Аэродинамические силы, действующие на летящее тело — подъемная сила и сопротивление — пропорциональны плотности воздуха, площади, коэффициентам подъемной силы и сопротивления, соответственно, и квадрату воздушной скорости. Мы не знаем точно площадь и коэффициенты подъемной силы и сопротивления; последние зависят от угла атаки и позиции тела. Похоже, мы не можем вычислить аэродинамические силы, а значит, не можем и моделировать полет.

Но с небольшой помощью чистой магии полета (в английском — игра слов: pure flying magic напоминает о шутливом ответе на вопрос "How does it work?!" (Как это работает?!) - "Pure Fucking Magic!" (Чистая магия, в рот мне ноги!))… можем!

Рассмотрим диаграмму сил, действующих на пилота. Мы имеем 3 силы: вес W=mg, подъемную силу L=½Cl·ρ·S·V², которая перпендикулярна вектору текущей скорости V, и силу лобового сопротивления D=½Cd·ρ·S·V², которая действует в обратном направлении скорости. Здесь Cl и Cd — безразмерные коэффициенты подъемной силы и сопротивления, соответственно, ρ — плотность воздуха, а S — площадь вингсьюта в плане.

post-22124-1368397610_thumb.png

Если текущий угол глиссады равен α, то горизонтальные составляющие подъемной силы и сопротивления равны Lsinα и –Dcosα, вертикальные составляющие равны –Lcosα и –Dsinα. Таким образом, мы имеем два ньютоновских уравнения движения:

post-22124-1368397735_thumb.png

post-22124-1368397743_thumb.png

где ax=dVx/dt, ay=dVy/dt — горизонтальное и вертикальное ускорения, Vx и Vy — горизонтальная и вертикальная составляющие полной скорости

post-22124-1368397922.png

Так как sinα=Vy/V, cosα=Vx/V, уравнения могут быть переписаны в виде

post-22124-1368397937_thumb.png

post-22124-1368397944_thumb.png

Эти уравнения, кажется, только поддерживают сомнения, что они могут быть решены, так как мы не знаем Cl, Cd и S. Нужны исчерпывающие эксперименты в аэродинамической трубе, чтобы найти Cl и Cd для разных углов атаки.

И здесь на помощь приходит магия. Введем ”волшебные” коэффициенты подъемной силы и сопротивления, определяемые выражениями

post-22124-1368398268.png

post-22124-1368398276.png

Уравнения движения теперь преобразуются в

post-22124-1368398377.png

post-22124-1368398383_thumb.png

Но мы все-таки не знаем Kl и Kd… или знаем?

Предположим, что при текущей позиции тела и угле атаки установившиеся горизонтальная и вертикальная скорости пилота равны Vxs и Vys. Так как при установившемся полете ускорение равно нулю по определению, уравнения переписываются как

post-22124-1368398664.png

post-22124-1368398677_thumb.png

где Vs — полная установившаяся скорость. Эти два уравнения с двумя неизвестными легко решаются для Kl и Kd:

post-22124-1368398686.png

post-22124-1368398694.png

Заметьте, что отношение этих коэффициентов равно аэродинамическому качеству полета:

post-22124-1368398700.png

Теперь неизвестные аэродинамические параметры (загрузка крыла mg/S и аэродинамические коэффициенты Cl, Cd) ”спрятаны” внутри коэффициентов Kl и Kd, которые могут быть легко вычислены из установившихся горизонтальной и вертикальной скоростей для данного режима полета, позволяя нам решить уравнения движения. Как видите, иногда нужно просто замести проблемы под ковер, и внезапно он превращается в волшебный ковер-самолет. Это магия… чистая магия полета!

Система дифференциальных уравнений, которую мы только что вывели, называется уравнениями вингсьюта:

post-22124-1368398708.png

post-22124-1368398714_thumb.png

Они могут быть также записаны в элегантной матричной форме:

post-22124-1368398721.png

Простейший случай — это когда Kl и Kd постоянны в течение всего полета (это означает, что пилот поддерживает постоянное положение тела и угол атаки на протяжении всего полета). Предположим, вы измерили ваши установившиеся скорости для лучшего качества полета L/D на скайдайве, используя GPS в условиях полного штиля, и они равны Vxs=150км/ч, Vys=60км/ч (L/D=2.5). Если вы сделаете бейс-прыжок, поддерживая в точности такое же положение тела и изменяя наклон тела к горизонту таким образом, чтобы угол атаки был таким же на протяжении всего полета, то мы имеем уравнения вингсьюта с постоянными известными коэффициентами Kl и Kd, вычисленными из установившихся скоростей, как показано выше, и они могут быть легко решены численно. Зная всего два числа, измеренные на скайдайве, мы можем вычислить траекторию и скорость в каждый момент бейс-прыжка!

Если угол атаки и позиция тела непостоянны в течение полета, нам нужно знать различные режимы полета (комбинации Vxs и Vys, или, эквивалентно, Kl и Kd) при разных углах атаки. Режимы полета могут быть измерены, выполняя установившийся полет в каждом режиме на скайдайве, или же анализируя данные неустановившегося полета на бейс-прыжке. При интегрировании уравнений вингсьюта, используется режим полета, соответствующий текущему углу атаки, чтобы вычислить состояние полета в следующий момент времени, и так далее.

Насколько практично предположение о постоянном режиме полета на бейс-прыжке? В первые 2-3 секунды, пока вы только переходите от экзита в полет, аэродинамические силы достаточно малы, так что существенное изменение угла атаки и соответственно, коэффициентов подъемной силы и сопротивления, не имеет практически никакого эффекта на общий полет. Лучшие полеты чувствуются плавными и эффективными от экзита до открытия — вы быстро и плавно переходите в пикирование с малым углом атаки, ”замораживаете” ваше тело и плавно изменяете наклон тела к горизонту по мере полета, так чтобы поддерживать угол атаки близко к вашему наиболее эффективному режиму полета. В этом случае, предположение постоянного режима полета достаточно практичное. Если вы сравните траектории, вычисленные с использованием уравнений вингсьюта, с вашими GPS данными, вы увидите поразительно хорошее согласие между теорией и практикой — по крайней мере, для полетов, которые ощущаются плавными и эффективными.

Уравнения вингсьюта были так названы, потому что они были впервые выведены при исследовании именно динамики полета вингсьюта. Несмотря на то, что они в равной мере применимы к любому виду бездвигательного двухмерного парящего полета, их практическая ценность для полетов в вингсьюте (особенно для вингсьют-бейса) делает их особенно интересными именно для вингсьют-пилотов, поэтому и такое название.

Вот и сказочке анженерной работы конец, а кто слушал - молодец! :)

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Скорость выхода, при которой высота будет набираться, легко оценить, зная свои полетные режимы. Например, вы знаете, что в трексьюте вы можете лететь с установившимися горизонтальной 160км/ч и вертикальной 120км/ч скоростями. Какова должна быть скорость самолета, чтобы вы начали набирать высоту? С помощью уравнений вингсьюта это элементарно, Ватсон. Подъемная сила равна L = W*Kl*V^2, где W - вес, Kl - "волшебный" коэффициент подъемной силы (см. вывод ур. вингсьюта), V - полная скорость. Для набора высоты она должна быть больше веса: L > W. Получаем условие для минимальной начальной скорости Vmin:

Vmin = 1/sqrt(Kl)

Т.к. Kl = Vxs/Vs^3, где Vxs - установившаяся гориз. скорость, Vs - установившаяся полная скорость,

Vmin = Vs*sqrt(sqrt(LD^2 + 1)/LD)

где LD - качество полета, LD = Vxs/Vys.

В данном случае Vs = sqrt(160^2 + 120^2) = 200км/ч, LD = 160/120 = 1.333, и Vmin = 224км/ч.

А теперь берем худосочного пилота в кинг-матрасе, пусть он может медленно и печально планировать вниз с низкой горизонтальной и вертикальной скоростями: Vxs = Vys = 60км/ч. Для него Vmin = 101км/ч. Всего-то!

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах
Юра Бейс, диссертацию не хочешь по уравнениям вингсьюта написать?)

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

SlavikMIPT, она уже давно написана :rolleyes:

http://www.dropzone.com/cgi-bin/forum/gfor...gi?post=2563135

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

333, а что такое? Мне, как 100-процентному гуманитарию (недочеловеку) непонятен твой наезд на чела, про которого на dz.com написали: "Every second of time and effort involved in reading those posts is absolutely worth it." Я сам ни хрена не понимаю в этих расчетах, но, по крайней мере, не видел, чтобы кто-то их оспаривал на том же яйцеголовом уровне. То ли все остальные скудиверы - такие же гуманитарные лошары, как я, и просто не врубаются в тему, то ли расчеты Юрия - правильные.

Или нет?

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах
Бар. Х. писал:
на dz.com написали: "Every second of time and effort involved in reading those posts is absolutely worth it."

Я вам открою маленький секрет: они таки тупые. У гринго издревле уровень преподавания естественных наук в средней школе таков, каким он стал сейчас у нас. Поэтому восторг среднестатического американского e.g. скудижера.

 

Бар. Х. писал:
Я сам ни хрена не понимаю в этих расчетах,

На это и расчёт, судя по всему.

 

Бар. Х. писал:
не видел, чтобы кто-то их оспаривал на том же яйцеголовом уровне.

В том-то и дело, что нет там ничего „яйцеголового“. Примитивные диффуры на уровне старших классов средней школы. Задачка для задачника чуть повышенной сложности. Любой соображающий старшеклассник нарисует вам то же самое. И, я подозреваю, наш „гений“ совершенно ясно это понимает, ибо сам в своё время был. Но то ли он злобно стебётся (а для хомячков, уверовавших в непогрешимость его построений, это может закончиться очень печально), а то ли действительно соскучился по „двадцатке“.

 

Бар. Х. писал:
То ли все остальные скудиверы … просто не врубаются в тему,

Полагаю, таких немало. И эти смехуёчки поцыэнта (Hanlon's razor) для них могут выйти боком.

 

Бар. Х. писал:
то ли расчеты Юрия - правильные.

Выкладки за исключением одного маленького (в плане влияния на конечный результат вычислений в рассматриваемых реальных условиях) обмана верны. Но только в рамках простой математической модели (позапрошлого века, ныне доступной школьникам) выбранной для описания зубодробительно сложного реального явления. Вопрос же адекватности этой модели, её отношения к реальности автор обходит молчанием. Но зато он усердно вбивает массам в моск слова „уравнения вингсьюта“, которые собственно к вингсьюту имеют такое же отношение, как правила дорожного движения к устройству и принципам работы двигателей автомобилей — участников этого движения.

Изменено пользователем 333
сцылка на двадцатку (кто бы мог подумать, что это почившее в бозе учреждение уже удостивалось упоминания)

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах
Выкладки за исключением одного маленького (в плане влияния на конечный результат вычислений в рассматриваемых реальных условиях) обмана верны

подъемная сила не вверх направлена?

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

все бы хорошо, но почему выброшено индуктивное сопротивление крыла? вингсьют - крыло малой площади, малого удлиннения и с малой скоростью полета, а все эти параметры стоят в знаменателе индуктивного сопротивления и поэтому просто так выкинуть его нельзя - оно не меньший вклад вносит в полное лобовое сопротивление(если не больший). Не учтено так же, что плотность воздуха вообще говоря функция высоты,а не константа. Да и вообще процесс реально сложный слишком, чтобы сходу взять и запихать его в 2 дифф уравнения школьных - люди то дурачки - в трубах продувают и моделируют, уравнения носят оценочный характер чисто

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Разбиение сопротивления на индуктивное и паразитное - чисто умозрительный трюк, удобный для рассмотрения полета самолета по горизонтали. Нам он совершенно не нужен, у нас диаграмма сил другая и мы не летаем по горизонтали.

Представьте, что вы съедаете торт. В одном случае вы его просто съедаете целиком, в другом вы делаете "хитрый финт" - разрезаете его на два куска и съедаете эти куски по отдельности. Результат тот же - вы съели торт. Те же яйца, только вид сбоку.

У полета самолета по горизонтали есть две особенности, которые делают такое разбиение удобным и продуктивным: подъемная сила равна силе тяжести, а угол атаки мал. Поэтому разбив сопротивление D ~ Cd*V^2 на две части: индуктивное Di ~ Ci*L^2/V^2 (где подъемная сила L - константа, равная весу W) и паразитное Dp ~ Cp*V^2, и пользуясь малостью угла атаки, получаем, что коэффициенты Ci и Cp уже от угла атаки не зависят (в отличие от Cd). А это очень удобно - эти коэффициенты можно померять при продувке, и из них легко вычислить, например, оптимальную скорость полета с наименьшим расходом топлива.

У нас все по-другому. Мы не летим по горизонтали с постоянной скоростью, так что L != W. И типичный угол атаки у нас немал: не 4-6 градусов, а 15-20 (не говоря уж о режиме быстрого старта, когда УА ~ 45). Разбиение теряет смысл - коэффициенты Ci и Cp от УА зависят, а член L^2/V^2 все равно пропорционален квадрату скорости, ведь L ~ Cl*V^2. Так что нам лучше не выпендриваться и тортик заглотить целиком: D ~ Cd*V^2 и баста. Что и сделано в уравнениях вингсьюта.

А зависимость плотности воздуха от высоты в уравнениях вингсьюта заложена в "волшебные" коэффициенты Kl и Kd, которые пропорциональны плотности. Эта поправка уже заложена в коде Wingsuit Studio.

"Уравнения вингсьюта вечны, потому что они верны." (с) В.И.Ленин

А теперь прочтите вот эту статью:

http://raffaello.name/wp-content/uploads/2...-237998-291.pdf

- и найдите в ней грубейшие ошибки, связанные как раз с разбиением сопротивления на индуктивное и паразитное. Кто первый найдет - отпишитесь здесь, будет поучительно.

Эту статью написал BFL #146, Гео Робсон. Он погиб, рассчитав полет по новой линии и будучи уверенным, что у него будет запас высоты 50-100м над седлом. Но седло он не перелетел.

Может быть, виноват плохой старт, неумелый полет. Но прочитав его статью недавно и обнаружив в ней грубейшие ошибки-заблуждения, что-то говорит мне, что эти ошибки оказались и в его расчете траектории - он просто обманулся.

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах
Разбиение сопротивления на индуктивное и паразитное - чисто умозрительный трюк, удобный для рассмотрения полета самолета по горизонтали. Нам он совершенно не нужен, у нас диаграмма сил другая и мы не летаем по горизонтали.

если твою картинку повернуть на угол a и разложить силу тяжести на перпендикулярную скорости и параллельную составляющую - получится ровно та же картинка самолета, только вместо тяги двигателя будет проекция силы тяжести

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах
SlavikMIPT, опять же, это ненужное разбиение одной силы на две. Проще надо быть :rolleyes:

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах
Юра Бейс, да - ты прав

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Создайте аккаунт или войдите для комментирования

Вы должны быть пользователем, чтобы оставить комментарий

Создать аккаунт

Зарегистрируйтесь для получения аккаунта. Это просто!

Зарегистрировать аккаунт

Войти

Уже зарегистрированы? Войдите здесь.

Войти сейчас

×
×
  • Создать...